Прозорец на Долф и Чебишев

Коефициентите a(k) на прозореца на Долф и Чебишев са следните.

$$a(k)=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{M} \frac{T_{2M}(\frac{\cos(\omega_n / 2)}{\cos(\omega_0 / 2)})}{T_{2M}(\frac{1}{\cos(\omega_0 / 2)})}\, \cos((k-M)\omega_n)$$

където N е дължината на прозореца; M = (N – 1) / 2; k = 0, 1, …, N; ω_n = n π / (N – 1), ω₀ е константа (ω₀ > 0), T_2M са полиномите на Чебишев

$$T_{2M}(x)=\begin{cases} \cos(2\,M\, \mathrm{acos}(x)), & |x|\le1 \\ \cosh(2\,M\, \mathrm{acosh}(x)), & |x|\gt1
\end{cases}$$

и cosh и acosh са хиперболичния косинус и арккосинус

$$\cosh(x)=\frac{1}{2} (e^x+e^{-x})$$ $$\mathrm{acosh}(x)=ln(x+\sqrt{x^2-1}), \,x\ge1$$

Забележи, че върхът на този прозорец не е равен на 1, но прозорецът може да бъде нормализиран, така че върхът му да е 1.

$$a(k)=\frac{a(k)}{a(M)}$$

Терминът 1 / N преди сумата в първата формула по-горе не е нужен, не е там за да направи формулата по-близка до обратното дискретизирано преобразуване на Фурие, както е обяснено по-долу.

Стойностите на ω₀ обикновено са малки (< 0.1; въпреки че примерите по-долу използват по-големи стойности заради проблеми с прецизността). Други определения на прозореца на Долф и Чебишев използват

$$\frac{1}{\cos(\frac{\omega_0}{2})}=\cosh(\frac{1}{N} \, \mathrm{acosh}(10^\alpha))$$

Тук, константата α > 0 дава 1 / \cos(ω₀ / 2) ≥ 1 и 1 / \cos(ω₀ / 2) приблизително равно на 1. Това създава един прозорец на Долф и Чебишев, главният лоб (на прозореца, не на филтъра) на който е сравнително широк и страните на който – тези, които потискат страничните лобове на филтъра – са сравнително къси. Това е същото, както когато се използват стойности за ω₀, които са близко до нула.

Мотивация за прозореца на Долф и Чебишев

Вземи функцията

$$H(\omega)=\frac{T_{2M}(\frac{\cos(\omega / 2)}{\cos(\omega_0 / 2)})}{T_{2M}(\frac{1}{\cos(\omega_0 / 2)})}$$

Когато ω минава между 0 и ω₀, H намалява от 1 до 1 / T_2M (1 / cos(ω₀ / 2)). Когато ω продължава между ω₀ и π, H се движи между 1 / T_2M (1 / cos(ω₀ / 2)) и -1 / T_2M (1 / cos(ω₀ / 2)). За перспектива, при ω₀ = 1 и M = 100, T_2M (1 / cos(ω₀ / 2)) = 1.15E+45 и 1 / T_2M (1 / cos(ω₀ / 2)) = 8.71E-46. При тези параметри, функцията е тази показана в графиката по-долу.

От една страна, тази функция може да е един реалистичен амплитуден спектър на един нискочестотен филтър, въпреки че намалява доста бързо. Въпреки че е трудно да се види в графиката, ω₀ е честотата, при която амплитудният спектър H(ω) на прозореца на Долф и Чебишев стига своята "лента на спиране". За да изчислим филтъра на Долф и Чебишев от тази функция, можем да вземем обратното преобразуване на Фурие (с огледалната си част и изместен за да е с център при M, а не при 0). Това дава функцията показана най-горе в тази тема.

От друга страна, тази функция наподобява един импулс. Тъй като преобразуването на Фурие на произведението на две функции (филтъра и прозореца) е конволюцията на две преобразувания на Фурие (преобразуването на филтъра и преобразуването на прозореца), преобразуването на Фурие на прозореца е като филтър върху преобразуването на Фурие на филтъра. С други думи, амплитудният спектър на прозореца (в графиката по-горе) действа като филтър върху амплитудния спектър на филтъра, върху прозорецът е приложен.

Колкото по-малка е стойността на ω₀ в прозореца на Долф и Чебишев, толкова повече функцията наподобява един импулс и действа подобно на един всичкопропускащ филтър върху амплитудния спектър на един филтър с ограничен импулсен спектър. Амплитудният спектър на филтъра остава непроменен, като при прилагането на един правоъгълен прозорец. С по-малки ω₀, прозореца на Долф и Чебишев наподобява повече правоъгълния прозорец. С по-големи ω₀, лобът на амплитудния спектър в графиката по-горе става по-голям и прозорецът на Долф и Чебишев създава по-гладък амплитуден спектър на филтъра.

Примери на прозореца на Долф и Чебишев

Следното е прозореца на Долф и Чебишев при три различни стойности на ω₀ (0.1, 0.2 и 0.3) с N = 201 и M = 100.

Да предположим, че пробната честота е 2000 Hz. Вземи един нискочестотен филтър с преходна честота 40 Hz. Амплитудните спектри на съответните три филтри са показани в следната графика.

Когато ω₀ се увеличава, прозорецът на Долф и Чебишев става по-тесен, атенюацията в лентата на спиране става по-добра, но преходната лента става по-широка.

Бележка за параметъра M

По принцип, при създаването на прозореца на Долф и Чебишев, няма нужда да се връзва параметъра M в полиномите на Чебишев T2M с дължината на прозореца N в обратното преобразуване на Фурие (във формулата по-горе M = (N – 1) / 2). Можем да изпишем формулата за прозореца на Долф и Чебишев по следния начин.

$$a(k)=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{M} \frac{T_{2L}(\frac{\cos(\omega_n / 2)}{\cos(\omega_0 / 2)})}{T_{2L}(\frac{1}{\cos(\omega_0 / 2)})}\, \cos((k-M)\omega_n)$$

където между N и L няма връзка. Следното е прозорецът на Долф и Чебишев от предишния пример с ω₀ = 0.2 и с L = 100 и L = 75.

Амплитудните спектри на съответните филтри с дължина 201 и с преходна честота 40 Hz са следните.

Ако всичко останало е непроменено, едно по-голямо L ще произведе един прозорец на Долф и Чебишев с по-широк лоб и съответен филтър с по-добра атенюация в лентата на спиране, но с по-широка преходна лента.

Измерения за прозореца на Долф и Чебишев

Следното е графика на дискретизираното преобразуване на Фурие на прозореца на Долф и Чебишев върху дискретизираното преобразуване на Фурие на правоъгълния прозорец (с ω₀ = 0.1).

Измеренията на прозореца на Долф и Чебишев са следните.

¹ Когато ω₀ се увеличава, страничните лобове, които са най-близо до главния лоб на прозореца на Долф и Чебишев, изчезват бавно. Тези нива на най-високия страничен лоб не са прецизни, защото може да има странични лобове, които са по-близо до главния лоб и още не са изгладени.

Виж също:
Прозорец