Вълна трион

Една вълна трион е една периодична функция, която се увеличава линейно от един минимум към един максимум и след това изведнъж спада обратно към максимума. Една обратна вълна трион е подобна, но намалява от максимума към минимума и след това скача обратно към максимума.

В дискретизирано време например, ако N е периода на функцията, тогава функцията

$$x(k)=2\,(\frac{k}{N}+\mathrm{floor}(\frac{k}{N}+0.5))$$

е вълна трион. Увеличава се до 1 над N проби, след това пада на -1 и след това пак почва да се увеличава към 1. Периодът и е N проби. Функцията "floor" дава най-близкото цяло число, което е по-малко от аргумента на тази функция.

Функцията

$$x(k)=-2\,(\frac{k}{N}+\mathrm{floor}(\frac{k}{N}+0.5))$$

е една обратна вълна трион.

Ако например N = 40, тогава вълната трион ще бъде следната.

Една примерна вълна трион

Обратната вълна трион е следната.

Една примерна обратна вълна трион

Следното са две парчета от пет секунди с вълната трион и обърнатата вълна трион, с честотата на средното До.

Щракни за да чуеш една вълна трион.

Свири вълната трион

Щракни за да чуеш обратната вълна трион.

Свири обратната вълна трион

Работа с вълните трион

Подобно на квадратните вълни, вълните трион са богати с хармоници. Следното е дискретизираното преобразуване на Фурие с 500 компонента на примерната вълна трион в горната графика.

Амплитуда на честотите в една примерна вълна трион, произведени с преобразуването на Фурие

Заради тези хармоници – равно разпределените върхове в графиката тук – вълните трион се използват в синтезаторите. За да се имитира звука на един инструмент, вълни трион (а и квадратни вълни и други) със желаните хармоници се комбинират и върху резултата се използват филтри (например един нискочестотен филтър).

Хармоници на вълната трион

Върховете на преобразуването на Фурие на вълната трион с честота f са всички хармоници (цели числа) на f. Например, тъй като честотата на вълната трион в графиката по-горе е 50 Hz, върховете са при 50 Hz, 100 Hz, 150 Hz, 200 Hz и така нататък.

С други думи, реда на Фурие на вълната трион е безкрайната сума на хармониците на вълната трион (както по-долу, където всеки друг член е с обърната фаза).

Ред на Фурие на вълната трион

Редът на Фурие при проба k на вълната трион е следния.

$$\frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} \sin(\frac{2\,\pi\,k\,n\,f}{f_s})}{n}$$

където f е честотата на вълната трион и fs е пробната честота.

Реда на Фурие на обратната вълна трион е

$$\frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n} \sin(\frac{2\,\pi\,k\,n\,f}{f_s})}{n}$$

Следните четири графики показват първия член на реда, сумата от първите два члена, сумата от първите три члена и сумата на първите осем члена при f = 33.3 Hz, fs = 16000 Hz и за около първите 500 проби k на хоризонталната ос.

Ред на Фурие на вълната трион – първи член

Ред на Фурие на вълната трион – първите два члена

Ред на Фурие на вълната трион – първите три члена

Ред на Фурие на вълната трион – първите осем члена

Вълните в точките, където вълната трион прекъсва, са резултат на феномена на Гибс – приблизителното изчисляване на една прекъсната функция с непрекъснати функции.

Добави нов коментар

Filtered HTML

  • Freelinking helps you easily create HTML links. Links take the form of [[indicator:target|Title]]. By default (no indicator): Click to view a local node.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically.
  • Lines and paragraphs break automatically.

Plain text

  • No HTML tags allowed.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically.
  • Lines and paragraphs break automatically.
CAPTCHA
This question is for testing whether or not you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.
Image CAPTCHA
Enter the characters shown in the image.