Ултрасферичен прозорец

Коефициентите на ултрасферичния прозорец се дават от формулата

$$a_0(m)=\frac{1}{N}(C_{N-1}^\mu (x_0)+2 \sum_{n=1}^{\frac{N-1}{2}} (C_{N-1}^\mu (x_0 \cos(\frac{\pi \, n}{N}) \cos(\frac{2 \pi \, n \, m}{N}))))$$ $$m=-\frac{N-1}{2}, -\frac{N-1}{2}+1, …, \frac{N-1}{2}$$ $$a(k)=\frac{a_0(k-\frac{N-1}{2})}{a_0(0)}, k=0, 1, …, N-1$$

където N е дължината на филтъра, μ и x₀ са константи, които контролират колко бързо краищата на прозореца затихват (обикновено, μ ≥ 1 и x₀ ≥ 1) и C^μ_N са ултрасферичните полиноми, които също така се наричан полиноми на Гегенбауер, определени от рекурсията

$$C_0^\mu (x)=1$$ $$C_1^\mu (x)=2\,\mu \, x$$ $$C_n^\mu (x)=\frac{1}{n} (2(n+\mu-1)x\,C_{n-1}^\mu (x)-(n+2\,\mu-2) C_{n-2}^\mu (x))$$

a₀(k) е един прозорец, който е симетричен спрямо нулата и върхът на който не е 1. a(k) измества този прозорец надясно с (N – 1) / 2 до k=0, 1, …, N – 1 и му променя размера, така че върхът му да е 1. Забележи, че ултрасферичните полиноми имат много други еквивалентни определения. Забележи също, че основната трудност при изчисляването на този прозорец е изчисляването на ултрасферичните полиноми, защото числата, които се получават, могат да са доста големи.

a₀(k) всъщност е обратното дискретизирано преобразуване на Фурие на желания амплитуден спектър

$$H(k)=C_{N-1}^\mu (x_0 \cos(\frac{\pi\,k}{N}))$$

за k = 0, 1, …, (N – 1) /2.

Едно друго и еквивалентно определение на прозореца използва

$$a_0(k)=b_{\frac{N-1}{2}-|k|, N-1}^\mu (x_0)$$ $$b_{m,n}^\mu (x_0)=\frac{2\,\mu \, x_0^n}{n-m} (\begin{matrix} \mu+n-m-1 \\ n-m-1 \end{matrix}) \sum_{i=0}^m ((\begin{matrix} \mu+m-1 \\ m-i \end{matrix}) (\begin{matrix} n-m \\ i \end{matrix}) (1-x_0^{-2})^i)$$ $$(\begin{matrix} n \\ m \end{matrix}) = \frac{n!}{m! (n-m)!}$$

Вземи един нискочестотен филтър с ограничен импулсен спектър (FIR) и с дължина N = 101. Следното е ултрасферичния прозорец с μ = 3 и x₀ = 1.

Следното е съответния желан амплитуден спектър (преди нагласяването на размера).

Ако пробната честота е 2000 Hz и преходната честота на филтъра е 40 Hz, импулсният спектър на филтъра с правоъгълния прозорец (без прозорец) и с ултрасферичния прозорец по-горе е следния.

Амплитудният спектър на същия филтър е показан на следната графика.

С по-голямо μ, страните на прозореца затихват по-бързо и амплитудният спектър на съответния филтър има по-голяма преходна лента и по-добра атенюация в лентата на спиране. Следното е ултрасферичния прозорец с x₀ = 1 и при три различни стойности на μ (2, 3 и 4).

Съответните амплитудни спектри за същия нискочестотен филтър, който се използва в примера по-горе, са следните.

Влиянието на x₀ е подобно. Следното е ултрасферичния прозорец с μ = 2 и при три стойности на x₀ (1, 1.001 и 1.002).

Съответните амплитудни спектри, изчислени със същия нискочестотен филтър, който се използва в примерите по-горе, са следните.

Измерения за ултрасферичния прозорец

Следната графика сравнява дискретизираното преобразуване на Фурие на ултрасферичния прозорец (μ = 3; x₀ = 1) и на правоъгълния прозорец.

Следното са измеренията на ултрасферичния прозорец (x₀ = 1; μ = 2, 3 и 4).

Виж също:
Прозорец